对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．（

题目

对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．
（1）求闭函数y=-x³符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数f（x）=

3

4

x+

1

x

（x>0）是否为闭函数？并说明理由．

答案

（1）由题意，函数y=-x³是R上的减函数，若满足x∈[a，b]⊆R，且f（x）的值域为[a，b]；则f（a）=-a³，f（b）=-b³；
∴

b=-a3 a=-b3

，且b>a；解得

a=-1 b=1

，
所以，所求的区间为[-1，1]．
（2）∵当x>0时，f（x）=

3

4

x+

1

x

≥2

3 4 x• 1 x

=

3

，当且仅当

3

4

x=

1

x

，即x=

2

3

时“=”成立，
∴f（x）不是（0，+∞）上的增函数或减函数；
所以，函数f（x）不是（0，+∞）上的闭函数．

（1）可设区间[a，b]满足条件，则[f（b），f（a）]与它相同，从而求得a、b的值；
（2）x＞0时，f（x）有最小值，不是定义域上的增函数或减函数，从而知f（x）不是闭函数．

本题考点：函数单调性的判断与证明；函数的定义域及其求法；函数的值域．

考点点评：本题考查了新定义下的数学问题，利用题目中的定义来解答数学问题，有一定的挑战性．