两道高等代数关于多项式的题.

题目

两道高等代数关于多项式的题.
1.求出所有满足条件（x-1）f（x+1）=（x+2）f（x）的非零的实系数多项式.
2.求出满足f（x²）-f（x）f（x+1）=0的所有复系数多项式.
教授课堂上出的例题,让我们做,但是好几个星期了也没给讲.

答案

思路都是比较两边的根.
1.x = 1是(x-1)·f(x+1)的根,所以也是(x+2)·f(x)的根.
但其不是x+2的根,故其为f(x)的根,f(1) = 0.
同理,由x = -2是(x+2)·f(x)的根,可得f(-1) = 0.
继而将x = 0代入左端,得f(0) = 0.
由f(x)有根0,1,-1,可设f(x) = x(x-1)(x+1)·g(x).
代入等式得x(x-1)(x+1)(x+2)·g(x+1) = x(x-1)(x+1)(x+2)·g(x).
既有g(x) = g(x+1),而g(x)是多项式,只有g(x) = c.
于是f(x) = cx(x-1)(x+1),其中c为非零实数.
2.首先f(x) = 0与f(x) = 1显然满足要求,以下只讨论次数大于1的多项式.
由f(x²) = f(x)f(x+1),若a是f(x)的根,则a也是f(x²)的根,也即a²是f(x)的根.
于是a,a²,(a²)²,((a²)²)²,...都是f(x)的根.
但若f(x)非零,只有有限个根,存在m < n使a^m = a^n,于是a^m·(a^(n-m)-1) = 0.
有a = 0,或a是单位根(某个正整数次幂为1).
f(x)的根只能为0或单位根,于是f(x²)的根也只能为0或单位根.
由f(x²) = f(x)f(x+1),f(x+1)的根也只能为0或单位根.
而a是f(x)的根当且仅当a-1是与f(x+1)的根.
若a与a-1都是单位根,设b是a的复共轭,有ab = |a|² = 1,(a-1)(b-1) = |a-1|² = 1.
可解得a = (1±√3i)/2,记α = (1+√3i)/2,β = (1-√3i)/2.
若a-1 = 0,则a = 1.
于是f(x)的根只能为0,1,α,β,f(x+1)的根只能为-1,0,α-1,β-1.
若α是f(x)的根,则√α是f(x²)的根,但√α不是f(x)或f(x+1)的根,与f(x²) = f(x)f(x+1)矛盾.
故α不是f(x)的根,同理β也不是f(x)的根,故f(x)的根只能为0,1.
设f(x) = c·x^m·(x-1)^n.
有f(x²) = c·(x²)^m·(x²-1)^n = c·x^(2m)·(x-1)^n·(x+1)^n,f(x+1) = c·(x+1)^m·x^n.
代入等式得c·x^(2m)·(x-1)^n·(x+1)^n = c²·x^(m+n)·(x-1)^n·(x+1)^m.
当c ≠ 0,等式成立当且仅当m = n,c = 1.
故f(x) = x^m·(x-1)^m.
满足条件的多项式只有0,1和x^m·(x-1)^m.