如图:在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC的中点. (1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C距离之间的关系; (2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动,移动中保持AN=BM
题目
如图:在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC的中点.
(1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C距离之间的关系;
(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动,移动中保持AN=BM,请判断△OMN的形状,并证明你的结论.
答案
(1)∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°,O为BC的中点,
∴OA=
BC=OB=OC,
即OA=OB=OC;
(2)△OMN是等腰直角三角形.理由如下:
连接AO
∵AC=AB,OC=OB
∴OA=OB,∠NAO=∠B=45°,
在△AON与△BOM中
∴△AON≌△BOM(SAS)
∴ON=OM,∠NOA=∠MOB
∴∠NOA+∠AOM=∠MOB+∠AOM
∴∠NOM=∠AOB=90°,
∴△OMN是等腰直角三角形.
(1)由于△ABC是直角三角形,点O是BC的中点,根据直角三角形的性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,故有OA=OB=OC=
BC;
(2)由于OA是等腰直角三角形的斜边上的中线,根据等腰直角三角形的性质知,∠CAO=∠B=45°,OA=OB,又有AN=MB,所以由SAS证得△AON≌△BOM可得:ON=OM ①∠NOA=∠MOB,于是有,∠NOM=∠AOB=90°,所以△OMN是等腰直角三角形.
等腰三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线.
本题利用了等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质求解.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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