如图,⊙O过点B、C.圆心O在等腰直角△ABC的内部,∠BAC=90°,OA=1,BC=6,则⊙O的半径为 _ .
题目
如图,⊙O过点B、C.圆心O在等腰直角△ABC的内部,∠BAC=90°,OA=1,BC=6,则⊙O的半径为 ___ .
答案
过O作OD⊥BC,
∵BC是⊙O的一条弦,且BC=6,
∴BD=CD=
BC=
×6=3,
∴OD垂直平分BC,又AB=AC,
∴点A在BC的垂直平分线上,即A,O及D三点共线,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠ABC=45°,
∴△ABD也是等腰直角三角形,
∴AD=BD=3,
∵OA=1,
∴OD=AD-OA=3-1=2,
在Rt△OBD中,
OB=
=
=
.
故答案为:
.
过O作OD⊥BC,由垂径定理可知BD=CD=
BC,根据△ABC是等腰直角三角形可知∠ABC=45°,故△ABD也是等腰直角三角形,BD=AD,再由OA=1可求出OD的长,在Rt△OBD中利用勾股定理即可求出OB的长.
垂径定理;勾股定理.
本题考查的是垂径定理及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
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