定义在(0,+∞)上的函数f(x) 满足f(mn)=f(m)+f(n),(m,n>0) 且当x>1时,f(x)>0 求证f(x)在(0,+∞)上是增函数

题目

定义在(0,+∞)上的函数f(x) 满足f(mn)=f(m)+f(n),(m,n>0) 且当x>1时,f(x)>0 求证f(x)在(0,+∞)上是增函数

答案

把式子f(mn)=f(m)+f(n)移项得f(mn)-f(m)=f(n)令mn=a,m=b,易得n=a/b上式变成f(a)-f(b)=f(a/b)证明：令a>b>0,则a/b>1又因为当x>1时,f(x)>0；所以f(a/b)>0所以f(a)-f(b)>0,而此时a>b所以f(x)在(0,+∞)上是增函数...