F1.F2是椭圆x^/4+y^2=1的左右焦点.点P在椭圆上运动,求PF1*PF2的最大值和最小值

题目

F1.F2是椭圆x^/4+y^2=1的左右焦点.点P在椭圆上运动,求PF1*PF2的最大值和最小值

答案

由方程知 a^2=4,b^2=1,c^2=3,设PF1=r1,PF2=r2,由第二定义,
r1=d1*e=(a^2/c+x)e=a+ex,r2=d2*e=(a^2/c-x)e=a-ex,
所以 r1r2=a^2-e^2x^2=4-3/4x^2.
设 x/2=cosθ,y=sinθ,则r1r2=4-3/4*4(cosθ)^2=4-3(cosθ)^2,
当(cosθ)^2=0时,r1r2=4(最大值),
当(cosθ)^2=1时,r1r2=1(最小值).