函数y=1+2x+4xa在x∈（-∞，1]上y＞0恒成立，则a的取值范围是_．

题目

函数y=1+2^x+4^xa在x∈（-∞，1]上y＞0恒成立，则a的取值范围是______．

答案

由题意，得1+2^x+4^xa＞0在x∈（-∞，1]上恒成立，
∴a＞-

1+2x

4x

在x∈（-∞，1]上恒成立．
又∵t=-

1+2x

4x

=-（

1

2

）^2x-（

1

2

）^x=-[（

1

2

）^x+

1

2

]²+

1

4

，
当x∈（-∞，1]时t的值域为（-∞，-

3

4

]，
∴a＞-

3

4

；
即a的取值范围是（-

3

4

，+∞）；
故答案为：（-

3

4

，+∞）．