已知不等式组{x^2-x-2>o,2x^2+(5+2k)x+5k<0.
题目
已知不等式组{x^2-x-2>o,2x^2+(5+2k)x+5k<0.
(1)当k=0时,求不等式的解区间;
(2)若不等式的整数解只有一个-2,求实数k的取值范围!
答案
解1:
已知:
x²-x-2>0、2x²+(5+2k)x+5k<0
当k=0时,有:
x²-x-2>0……………………(1)
2x²+5x<0…………………(2)
由(1),有:x²-2×(1/2)x+(1/2)²-(1/2)²-2>0
(x-1/2)²-1/4-2>0
(x-1/2)²>9/4
有:x-1/2>3/2,或:x-1/2<-3/2
解得:x>2,或:x<-1
由(2),有:x(2x+5)<0
有:x<0、2x+5>0………………(3)
或:x>0、2x+5<0………………(4)
由(3)得:-5/2<x<0
由(4)得:x>0、x<-5/2,矛盾,舍去.
综合以上,不等式的解为:-5/2<x<-1
解2:
x²-x-2>0…………………………(1)
2x²+(5+2k)x+5k<0………………(2)
由(1),有:x²-2×(1/2)x+(1/2)²-(1/2)²-2>0
(x-1/2)²-1/4-2>0
(x-1/2)²>9/4
有:x-1/2>3/2,或:x-1/2<-3/2
解得:x>2,或:x<-1………………(3)
由(2)有:x²+[(5+2k)/2]x+5k/2<0
x²+2×[(5+2k)/4]x+[(5+2k)/4]²-[(5+2k)/4]²+5k/2<0
[x+(5+2k)/4]²-[(5+2k)/4]²+5k/2<0
[x+(5+2k)/4]²<(4k²+20k+25)/4²-40k/4²
[x+(5+2k)/4]²<(4k²-20k+25)/4²
[x+(5+2k)/4]²<(2k-5)²/4²
-(2k-5)/4<x+(2k+5)/4<(2k-5)/4
-(2k-5)/4-(2k+5)/4<x<(2k-5)/4-(2k+5)/4
-k<x<-5/2
考虑到由(1)解得的(3),不等式的解为:
-k<x<-1
由已知:不等式的整数解只有-2
因此,有:-3<-k<-2
故:所求k的数值为:2<k<3.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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