在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是正三角形,且垂直于底面ABCD,底面ABC是边长为2的菱形,角BAD为60,M为PC中点,

题目

在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是正三角形,且垂直于底面ABCD,底面ABC是边长为2的菱形,角BAD为60,M为PC中点,
求PA平行BDM,求AC于面ADM所成角的正弦值.

答案

1、连结AC、BD,交于O点,连结OM,

∵四边形ABCD是菱形,

∴AO=CO,（菱形对角线互相垂直平分）,

∵PM=CM,（已知）,

∴OM是△CAP的中位线,

∴PA//OM,

∵OM∈平面BDM,

∴PA//平面BDM.

2、在平面PAC上作CH⊥PA,交PA于H,

∵PA//平面BDM,

∴<PAC 与AC和平面BDM所成角相等,

∵<BAD=60°,

∴△ABD是正△,

BD=AB=2,AO=√3OB=√3,

∴AC=2√3,

在平面PAD上作PH⊥AD,

∵平面PAD⊥平面ABCD,

∴PH⊥平面ABCD,

PH=√3,在△AHC中,<D=120°,根据余弦定理,CH=√7,

∵CH∈平面ABCD,

∴PH⊥CH,

∴△PHC是RT△,

在△PHC中,根据勾股定理,

PC=√（PH^2+CH^2)=√10,

在△PAC中,根据余弦定理,

cos<PAC=（PA^2+AC^2-PC^2)/(2PA*AC)=(4+12-10)/(2*2*2√3）=√3/4,

∴sin<PAC=√（1-3/16）=√13/4,

∴AC与平面ADM所成角的正弦值为√13/4.