设a1,a2,a3,…,an(n∈N*)都是正数,且a1a2a3•…an=1,试用数学归纳法证明:a1+a2+a3+…+an≥n.
题目
设a1,a2,a3,…,an(n∈N*)都是正数,且a1a2a3•…an=1,试用数学归纳法证明:a1+a2+a3+…+an≥n.
答案
证明:①当n=1时,不等式成立
②假设当n=k-1时成立,则当n=k时,考虑等式a1a2a3•…•ak=1
若a1,a2,a3,…,ak相同,则都为1,不等式得证
若a1,a2,a3,…,ak不全相同,则a1,a2,a3,…,ak的最大数和最小数不是同一个数
不妨令a1为a1,a2,a3,…,ak的最大数,a2为a1,a2,a3,…,ak的最小数.
则∵a1a2a3•…•ak=1,∴最大数a1≥1,最小数a2≤1
现将a1a2看成一个数,利用归纳假设,有a1a2+a3+…+ak≥k-1…(1)
由于a1≥1,a2≤1,所以(a1-1)(a2-1)≤0
所以a1a2≤a1+a2-1…(2)
将(2)代入(1),得
(a1+a2-1)+a3+…+ak≥k-1,即a1+a2+a3+…+ak≥k
∴当n=k时,结论正确
综上可知,a1+a2+a3+…+an≥n.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
最新试题
- 买5千克苹果和6千克梨共花了6元钱,梨的单价是苹果单价的5/6.苹果和梨的单价各是多少元?
- 大学《电路基础》
- 22.(8分)某产品每件成本10元,在试销阶段每件产品的日销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表:
- HCL NaOH Na2CO3 先和谁反应
- A、B两地相距36千米,甲乙两人由AB两地相向而行,甲和小狗同行.甲每小时行4千米,乙每小时行3千米,
- ( )( )发现 是关于四字成语的
- Try to sign your name _________ the letter.
- I saw you come to school by bus this morning .Oh,I ( )come to school by bus ,but it is raining
- (2011黄冈)如图是某生态系统中的食物网简图,有关叙述错误的是( )
- 一根自来水管的直径是2厘米,水在管内流速为每秒4米,打开水管,1小时能放多少立方米的水?
热门考点
- 请诸位帮我看个英语语法问题
- 六(1)班同学在一次测试中,语文的及格率是95%,
- 为什么糖酵解可以在无氧或有氧条件下进行,而三羧酸循环必须在有氧条件下进行?
- 在等差数列an中,a1=1,an=99,d=2,则sn等于?
- 请问,当溶解过程中消耗或者生成水,和带有结晶水的物质溶解时,如何计算溶解度.
- 我想要一双和她一样的鞋用英语怎么说
- 体育馆的英文是什么?
- 利用加 加 减 乘 除和括号将 3 7 6 5进行运算 计算出一个结果为24的算式
- few 和a few区别
- 配置100ml 0.07%的硫代硫酸钠需要加多少克硫代硫酸钠