求证：存在无穷多个自然数k,使得n^4+k不是质数

题目

求证：存在无穷多个自然数k,使得n^4+k不是质数
用因式分解来证明的,最后好像还要说明取值范围,才能说明各个因式大于1,

答案

这还用证?
对任意自然数N,令K = M*N,M属于自然数,则有：
N^4 + K
= N^4 + MN
= N(N^3 + M)
当N = 1时,N^3恒等于1,因此只要使M为大于等于3的奇数,N^3 + M就为大于2的偶数,必然是合数.
当N > 1时,只要使N^3 + M > 1即能让N^4 + K有两个大于1的因数,必然是合数.而N > 1时,N^3 + M > 1对M属于自然数恒成立.
综上,存在无穷多个自然数M,也就是存在无穷多个自然数K,使得N^4 + K不是质数.