在等腰三角形ABC中,D为直角边BC的中点,CE⊥AD于点E,交AB于点F.求证：∠ADC=△BDF

题目

在等腰三角形ABC中,D为直角边BC的中点,CE⊥AD于点E,交AB于点F.求证：∠ADC=△BDF

答案

作CH⊥AB于H交AD于P,
∵在Rt△ABC中AC=CB,∠ACB=90°,
∴∠CAB=∠CBA=45°．
∴∠HCB=90°-∠CBA=45°=∠CBA．
又∵中点D,
∴CD=BD．
又∵CH⊥AB,
∴CH=AH=BH．
又∵∠PAH+∠APH=90°,∠PCF+∠CPF=90°,∠APH=∠CPF,
∴∠PAH=∠PCF．
又∵∠APH=∠CEH,
在△APH与△CEH中
∠PAH=∠ECH,AH=CH,∠PHA=∠EHC,
∴△APH≌△CEH（ASA）．
∴PH=EH,
又∵PC=CH-PH,BE=BH-HE,
∴CP=EB．
在△PDC与△EDB中
PC=EB,∠PCD=∠EBD,DC=DB,
∴△PDC≌△EDB（SAS）．
∴∠ADC=∠BDE．
里面的E与F对调一下就行了