已知函数f(x)=loga(x+1)(a>1),若函数y=g(x)的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象. (1)写出函数g(x)的解析式; (2)当x∈[0,1)时,总有
题目
已知函数f(x)=loga(x+1)(a>1),若函数y=g(x)的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象.
(1)写出函数g(x)的解析式;
(2)当x∈[0,1)时,总有f(x)+g(x)≥m成立,求m的取值范围.
答案
(1)设点P(x,y)是g(x)的图象上的任意一点,则Q(-x,-y)在函数f(x)的图象上,
即-y=log
a(-x+1),则
y= −loga(1−x)=loga∴
g(x)=loga(2)f(x)+g(x)≥m 即
loga(1+x)+loga≥m,
也就是
loga≥m在[0,1)上恒成立.
设
h(x)=loga ,x∈[0,1),
则
h(x)=loga(−) =loga(−) =loga(−1−)由函数的单调性易知,h(x)在[0,1)上递增,若使f(x)+g(x)≥m在[0,1)上恒成立,
只需h(x)
min≥m在[0,1)上成立,即m≤0.
m的取值范围是(-∞,0]
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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