如图,ABCD是菱形,对角线AC与BD相交于O,∠ACD=30°,BD=6. (1)求证:△ABD是正三角形; (2)求AC的长(结果可保留根号).
题目
如图,ABCD是菱形,对角线AC与BD相交于O,∠ACD=30°,BD=6.
(1)求证:△ABD是正三角形;
(2)求AC的长(结果可保留根号).
答案
(1)证明:∵AC是菱形ABCD的对角线,
∴AC平分∠BCD.
∵∠ACD=30°,
∴∠BCD=60°.(1分)
∵∠BAD与∠BCD是菱形的一组对角,
∴∠BAD=∠BCD=60°.(2分)
∵AB、AD是菱形的两条边,
∴AB=AD.(3分)
∴△ABD是正三角形.(4分)
(2)∵O为菱形对角线的交点,
∴AC=2OC,OD=
BD=3,∠COD=90°.(5分)
在Rt△COD中,
=tan∠OCD=tan30°,
∴OC=
=
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