由r=3cosx及r=1+cosx所围成图形的公共部分面积

题目

由r=3cosx及r=1+cosx所围成图形的公共部分面积

答案

这种题做起来很麻烦的,积分号又不好写.
第一个是圆的极坐标方程,第二个是心脏线的极坐标方程
第一个化为参数方程为：x=3costcost；y=3costsint
第二个化为参数方程为：x=(1+cost)cost；y=(1+cost)sint
2条曲线有2个交点,y>0的部分交点为t=π/3处
只求y>0部分的面积.s=s1+s2
=int(π/2,π/3)(3costsint*d(3cost^2))+int(π/3,0)((1+cost)sint*d((1+cost)cost))
记s1积分号里面的部分为：k1=-18cost^2*sint^2*dt=(-9/2)(1-cos2t^2)
=(-9/2)(1/2-cos4t/2),所以s1=(-9/2)int(π/2,π/3)(1/2-cos4t/2)dt
=(-9/2)(t/2-sin4t/8)|(π/2,π/3)=3π/8-9sqrt(3)/32
记s2积分号里面的部分为：k2=-(sint+sintcost)*(sint+2sintcost)dt
=-(sint^2+3sint^2cost+2sint^2cost^2)dt
第一部分：k21=(cos2t-1)/2(dt),故s21=sin2t/4-t/2|(π/3,0)
第二部分：k22=-3sint^2d(sint),故s22=-sint^3|(π/3,0)
第三部分：k23=(cos2t^2-1)/2(dt)=(cos4t/4-1/4)dt,故s23=sin4t/16-t/4|(π/3,0)
所以s2=s21+s22+s23=(π/6-sqrt(3)/8)+3sqrt(3)/8+(sqrt(3)/32+π/12)
=π/4+9sqrt(3)/32
所以所求面积ss=2s=2(s1+s2)=2(3π/8-9sqrt(3)/32+π/4+9sqrt(3)/32)=5π/4