如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、P分别是棱BC和CC1的中点 (1)求证:BD1∥平面C1DE; (2)求证:平面A1B1P⊥平面C1DE.
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如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、P分别是棱BC和CC1的中点 (1)求证:BD1∥平面C1DE; (2)求证:平面A1B1P⊥平面C1DE.
题目
如图所示,在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,E、P分别是棱BC和CC
1
的中点
(1)求证:BD
1
∥平面C
1
DE;
(2)求证:平面A
1
B
1
P⊥平面C
1
DE.
答案
(1)证明:如图1,连接CD
1
,交C
1
D于点O,
∵E是BC的中点,O是CD
1
的中点,
∴BD
1
∥OE,
∵BD
1
⊄平面C
1
DE,OE⊂平面C
1
DE,
由线面平行的判定定理知BD
1
∥平面C
1
DE.
(2)证明A
1
B
1
⊥平面BCC
1
B
1
,C
1
E⊂面BCC
1
B
1
,
∴A
1
B
1
⊥C
1
E,∠B
1
C
1
O
1
=∠CEC
1
,
∴∠C
1
B
1
O
1
=∠CC
1
E,且B
1
C
1
=C
1
C,
从而Rt△B
1
C
1
P≌Rt△C
1
CE,
∴C
1
P=CE,C
1
E⊥B
1
P.
又∵A
1
B
1
∩B
1
P=B
1
,∴C
1
E⊥平面A
1
B
1
P.
∵C
1
E⊂平面C
1
DE,
∴平面A
1
B
1
P⊥平面C
1
DE.
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