正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AC的中点,当AB1垂直BC1时,求二面角D-BC1-C的余弦值

题目

正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AC的中点,当AB1垂直BC1时,求二面角D-BC1-C的余弦值

答案

首先：将正三棱柱补成四棱柱,新增点设为E,E1,D在A1C1的对应点D1,
设AB的长度1,
AB1与BC1垂直就是AB1与AE1垂直,
则：AD1的长度=DC1的长度=BD的长度=根号3/2；
A1A的长度=根号2/2；
BC1=根号6/2；
做DF垂直与BC1,CF垂直与BC1,(就是做垂线)
DF =BD*DC1/BC1=根号（3/2）/2;
CF=BC*CC1/BC1=根号3/3;
DC = 1/2;
根据余弦公式
COS=(DF^2+CF^2-DC^2)/(2*CF*DF)=根号2*11/48；
数据计算可能不准确,思路就是这样的