设α1,α2,α3,β均为非零列向量,α1,α2,α3,线性无关且β与α1,α2,α3分别正交,试证明α1,α2,α3,β线性无关（非常急!）

题目

设α1,α2,α3,β均为非零列向量,α1,α2,α3,线性无关且β与α1,α2,α3分别正交,试证明α1,α2,α3,β线性无关（非常急!）

答案

假设存在一组常数k1,k2,k3,k4,使得k1α1+k2α2+k3α3+k4β=0
等式两边同时左乘以β^T,由正交性质,(β^T)αi=0（i=1,2,3）等式化为
k4 (β^T)β=0.又β为非零列向量,因此（β^T）β不等于0,因此k4=0,代入原等式
k1α1+k2α2+k3α3=0,又由题α1α2α3线性无关,因此k1=k2=k3=0;
即得出这一组常数必定全为0,k1=k2=k3=k4=0
因此α1,α2,α3,β线性无关