过点（4,2）的直线交抛物线C：X^2=4Y 于A,B两点 过A,B两点分别作抛物线的切线L1,L2

题目

过点（4,2）的直线交抛物线C：X^2=4Y 于A,B两点 过A,B两点分别作抛物线的切线L1,L2
L1,L2交于点N 当S△ABC=28根号7时 求N点坐标
是三角形ABN

答案

设过点P（4,2）的直线l的方程为y=k(x-4)+2（显然不可能为方程x=4,因为直线x=4与抛物线C：y=1/4*x^2只有一个交点）,与抛物线方程y=1/4*x^2联立,得
1/4*x^2=k(x-4)+2,也即
x^2-4kx+8(2k-1)=0.
设A(x1,1/4*x1^2),B(x,2,1/4*x1^2),依韦达定理有
x1+x2=4k ①
x1*x2=8(2k-1) ②
函数y=1/4*x^2的导函数为y'=x/2,则经过抛物线C上某点(x,y)切线的斜率为y'=x/2.
直线l1方程为y-1/4*x1^2=x1/2*(x-x1) ③
直线l2方程为y-1/4*x2^2=x2/2*(x-x1) ④
③-④得
-1/4*(x1^2-x2^2)=x/2*(x1-x2)-1/2*(x1^2-x2^2)
因x1≠x2,故x1-x2≠0,则上式可化简为
x=(x1+x2)/2
于是y=1/4*x1^2+x1/2*(x-x1)=x1*x2/4
结合①和②,易得直线l1和直线l2的交点N的坐标为N(2k,4k-2).
过点P（4,2）的直线l的方程为kx-y+2-4k=0,则点N到直线l的距离为
s=[k*2k-(4k-2)+2-4k]/√(k^2+1)=(2k^2-8k+4)/√(k^2+1)
AB=√[(x2-x1)^2+(1/4*x2^2-1/4*x1^2)^2]=√{[(x1+x2)^2-4x1x2][1+1/16*(x1+x2)^2]}
=4√[(k^2+1)(k^2-4k+2)]
于是由S△ABN=28√7得
1/2*4√[(k^2+1)(k^2-4k+2)]*(2k^2-8k+4)/√(k^2+1)=28√7
化简得(k^2-4k+2)^(3/2)=7^(3/2)
于是有k^2-4k+2=7
解得k=-1或k=5
于是N点坐标为(-2,-6)或(10,18).