矩阵乘以一个数和矩阵等价的问题

题目

矩阵乘以一个数和矩阵等价的问题
矩阵等价意味着什么?
两个矩阵相等吗?
假设A是一个矩阵,那么有常数k,kA和A是不是等价,因为kA可以通过初等变换得到A.
还有k和[k]有什么不同?一个是数一个是矩阵,我以前听老师说这两个东西就是一样的.但是如过用k去乘以A和用[k]去乘以A结果肯定不同啊.

答案

等价矩阵的定义：存在可逆矩阵P、Q,使PAQ=B,则矩阵A与矩阵B等价
通俗地说：若矩阵A可以通过初等变换得到矩阵B,则矩阵A与矩阵B等价
初等变换包括初等行变换与初等列变换,矩阵的初等行（列）变换包括三类：
1、交换两行（列）
2、以实数k≠0乘以某一行（列）
3、把某一行（列）所有元素的k倍加到另一行（列）对应的元素上
矩阵等价不是指矩阵相等
矩阵相等意味着两个矩阵的阶数相同,且各个元素均相等
所以两个矩阵相等则一定等价,但两个矩阵等价不一定相等
设实数k≠0,则kA即是将矩阵A的所有元素乘以k,也就是反复进行第2条初等行（列）变换直至以实数k≠0乘以矩阵A的每一行（列）,所以矩阵kA与矩阵A等价
k是指实数,而(k)是指1*1的矩阵（即1维向量）,两者是不同的
实数k可以左乘或者右乘任意阶矩阵P,即是将矩阵P的所有元素乘以实数k
根据矩阵乘法的定义,矩阵(k)只能左乘1*n阶矩阵X（即n维行向量）或者右乘n*1阶矩阵Y（即n维列向量）,其他任意阶矩阵与矩阵(k)的乘法没有意义