三角形ABC内角A B C的对边分别为a b c 且满足cosA/cosB=-a/b+2c 求角A大

题目

三角形ABC内角A B C的对边分别为a b c 且满足cosA/cosB=-a/b+2c 求角A大
三角形ABC内角A B C的对边分别为a b c 且满足cosA/cosB=-a/b+2c
求角A大小,若a=9,求bc最大值

答案

由正弦定理,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,所以cosA/cosB=-a/(b+2c)= -sinA/(sinB+2sinC),
-sinAcosB=cosAsinB+2cosAsinC,sin(A+B)+2cosAsinC=0,sinC+2cosAsinC=0,
sinC(1+2cosA)=0,
因为A、B、C为三角形的内角, sinC不等于0,所以1+2cosA=0,2cosA=-1/2,
由余弦定理,cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=(b²+c²-81)/(2bc)=-1/2,b²+c²=81-bc,
因为b＞0,c＞0,由基本不等式b²+c²≥2bc,81-bc≥2bc,81≥3bc,27≥bc.
所以bc最大值为27.