直角三角形ABC的斜边在平面α内,直角顶点C是α外一点,AC·BC与α所成角分别为30°和45°求ABC与α的角

题目

直角三角形ABC的斜边在平面α内,直角顶点C是α外一点,AC·BC与α所成角分别为30°和45°求ABC与α的角

答案

从C点想平面α做垂线,交α与点D,连接AD、BD,从C向AB作垂线CE交AB与E,连接ED,显然ED为EC在α上的投影,
∵CE⊥AB且CD为α垂线,∴ED⊥AB,∴∠CED为面ABC与面α的二面角
∵显然AD、BD分别为AC、BC在α上的投影,∴∠CAD和∠CBD分别为AC和BC与α所成角
∴∠CAD=30°,∠CBD=45°
设CD=x,∵CD为α垂线,且AD、BD、AB都在α上,∴CD⊥AD,CD⊥BD,CD⊥AB
∴CD/AC=sin30°,CD/BC=sin45°,∴AC=2x,BC=√2x
∵∠ACB=90°,∴AC²+BC²=AB²,∴AB=√6x
∵CE⊥AB,∴AB·EC=AC·BC,∴EC=2√3x/3
∵CD⊥ED,∴sin∠CED=CD/CE=√3/2
∴∠CED=60°,既面ABC与面α的二面角为60°