在△ABC中,三内角A、B、C及其对边a、b、c,满足a2-b2=3bc,sinC=3sinB(Ⅰ)求角C的大小(Ⅱ)若c=6,求△ABC面积.

在△ABC中,三内角A、B、C及其对边a、b、c,满足a2-b2=3bc,sinC=3sinB(Ⅰ)求角C的大小(Ⅱ)若c=6,求△ABC面积.

题目
在△ABC中,三内角A、B、C及其对边a、b、c,满足a2-b2=
3
bc,sinC=
3
sinB
(Ⅰ)求角C的大小
(Ⅱ)若c=6,求△ABC面积.
答案
(Ⅰ)∵在△ABC中,sinC=
3
sinB,∴根据正弦定理,得c=
3
b

又∵a2-b2=
3
bc,∴a2-b2=3b2,解之得a=2b
∴△ABC中,a:b:c=2:1:
3
,可得a2=b2+c2
△ABC是以a为斜边的直角三角形,
∵sinC=
c
a
=
3
2
,∴C=60°   …(5分)
(Ⅱ)由(I)得a:b:c=2:1:
3

∴根据c=6,得b=2
3

∴Rt△ABC面积S=
1
2
bc=
1
2
×6×2
3
=6
3
…(9分)
(I)由根据正弦定理结合sinC=
3
sinB,得c=
3
b
,代入a2-b2=
3
bc算出a=2b,从而得到△ABC是以a为斜边的直角三角形,利用特殊三角函数值可得角C的大小;
(II)由(I)得若c=6,则Rt△ABC的两条直角边分别为6和2
3
,即可得到△ABC面积.

余弦定理;正弦定理的应用.

本题给出△ABC中的边的关系和角的关系式,求角C的大小并依此求三角形面积,着重考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形和三角形面积公式等知识,属于基础题.

举一反三
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