在△ABC中，三内角A、B、C及其对边a、b、c，满足a2-b2=3bc，sinC=3sinB（Ⅰ）求角C的大小（Ⅱ）若c=6，求△ABC面积．

题目

在△ABC中，三内角A、B、C及其对边a、b、c，满足a²-b²=

3

bc，sinC=

3

sinB
（Ⅰ）求角C的大小
（Ⅱ）若c=6，求△ABC面积．

答案

（Ⅰ）∵在△ABC中，sinC=

3

sinB，∴根据正弦定理，得c=

3

b
又∵a²-b²=

3

bc，∴a²-b²=3b²，解之得a=2b
∴△ABC中，a：b：c=2：1：

3

，可得a²=b²+c²
△ABC是以a为斜边的直角三角形，
∵sinC=

c

a

=

3

2

，∴C=60°   …（5分）
（Ⅱ）由（I）得a：b：c=2：1：

3

，
∴根据c=6，得b=2

3

∴Rt△ABC面积S=

1

2

bc=

1

2

×6×2

3

=6

3

…（9分）

（I）由根据正弦定理结合sinC=

3

sinB，得c=

3

b，代入a²-b²=

3

bc算出a=2b，从而得到△ABC是以a为斜边的直角三角形，利用特殊三角函数值可得角C的大小；
（II）由（I）得若c=6，则Rt△ABC的两条直角边分别为6和2

3

，即可得到△ABC面积．

本题考点：余弦定理；正弦定理的应用．

考点点评：本题给出△ABC中的边的关系和角的关系式，求角C的大小并依此求三角形面积，着重考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形和三角形面积公式等知识，属于基础题．