如何解一元二次不等式,例如：xˆ2+2x+3≥0.请大家写出解题过程和思路,

题目

如何解一元二次不等式,例如：xˆ2+2x+3≥0.请大家写出解题过程和思路,

答案

对于高中“解一元二次不等式”这一块,
通常有以下两种解决办法：
① 运用“分类讨论”解题思想；
② 运用“数形结合”解题思想.
以下分别详细探讨.
例1、解不等式 x² -- 2x -- 8 ≥ 0.
解法①：原不等式可化为：
(x -- 4) (x + 2) ≥ 0.
两部分的乘积大于等于零,
等价于以下两个不等式组：
（1） x -- 4 ≥ 0 或 （2）x -- 4 ≤ 0
x + 2 ≥ 0 x + 2 ≤ 0
解不等式组(1)得：x ≥ 4（因为x ≥ 4 一定满足x ≥ -- 2,此为“同大取大”）
解不等式组(2)得：x ≤ -- 2（因为x ≤ --2 一定满足x ≤ 4,此为“同小取小”）
∴不等式 x² -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或 x ≤ -- 2.
其解集为：( -- ∞,-- 2 ] ∪ [ 4,+ ∞）.
解法②：原不等式可化为：
[ (x² -- 2x + 1) -- 1 ] -- 8 ≥ 0.
∴ (x -- 1)² ≥ 9
∴ x -- 1 ≥ 3 或 x -- 1 ≤ -- 3
∴ x ≥ 4 或 x ≤ -- 2.
∴原不等式的解集为：( -- ∞,-- 2 ] ∪ [ 4,+ ∞）.
解法③：如果不等式的左边不便于因式分解、不便于配方,
那就用一元二次方程的求根公式进行左边因式分解,
如本题,用求根公式求得方程 x² -- 2x -- 8 = 0
的两根为x1 = 4,x2 = -- 2,则原不等式可化为：
(x -- 4) (x + 2) ≥ 0.下同解法①.
体会：以上三种解法,都是死板板地去解；
至于“分类讨论”法,有时虽麻烦,但清晰明了.
下面看“数形结合”法.
解法④：在平面直角坐标系内,函数f(x) = x² -- 2x -- 8 的图像
开口向上、与x 轴的两交点分别为(-- 2,0) 和 (4,0),
显然,当自变量的取值范围为 x ≥ 4 或 x ≤ -- 2 时,
图像在 x 轴的上方；
当自变量的取值范围为 -- 2 ≤ x ≤ 4 时,图像在 x 轴的下方.
∴ 当x ≥ 4 或 x ≤ -- 2 时,x² -- 2x -- 8 ≥ 0,
即：不等式 x² -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或 x ≤ -- 2.
顺便说一下,当-- 2 ≤ x ≤ 4 时,图像在 x 轴的下方,即：x² -- 2x -- 8 ≤ 0,
∴不等式x² -- 2x -- 8 ≤ 0 的解为：-- 2 ≤ x ≤ 4 .其解集为：[ -- 2,4 ].
领悟：对于ax² + bx + c ＞ 0 型的二次不等式,其解为“大于大根或小于小根”；
对于ax² + bx + c ＜ 0 型的二次不等式,其解为“大于小根且小于大根”.
例2、解不等式 x² + 2x + 3 ＞ 0.
在实数范围内左边无法进行因式分解.
配方得：(x + 1)² + 2 ＞ 0.
无论 x 取任何实数,(x + 1)² + 2 均大于零.
∴ 该不等式的解集为 x ∈ R.
用“数形结合”考虑,
∵ 方程x² + 2x + 3 = 0的根的判别式△＜0,
∴函数f(x) = x² + 2x + 3 的图像与x 轴无交点且开口向上.
即：无论自变量x取任意实数时,图像恒位于x 轴的上方.
∴不等式 x² + 2x + 3 ＞0的解集为 x ∈ R.
例3、解不等式 x² + 2x + 3 ＜ 0.
在实数范围内左边无法进行因式分解.
配方得：(x + 1)² + 2 ＜ 0.
无论 x 取任何实数,(x + 1)² + 2 均大于零,
∴ 该不等式的解集为 空集.
用“数形结合”考虑,
∵ 方程x² + 2x + 3 = 0的根的判别式△＜0,
∴函数f(x) = x² + 2x + 3 的图像与x 轴无交点且开口向上.
即：无论自变量x取任意实数时,图像恒位于x 轴的上方.
∴不等式 x² + 2x + 3 ＞0的解集为 空集.
注：在以后的高中学习中,对于“不等式”这一块,较麻烦的是
“含有参数的不等式”.如：
f(x) = ax² + x （ a ∈ R 且 a ‡ 1）
若当x ∈[ 0,1] 时,总有 | f(x) | ≤ 1,求a的取值范围.
以后慢慢探讨吧,祝您学习顺利!