在圆O中,两条弦AB,CD,且角AOC=30°,角BOD=70°,且AB,CD交点为E,则角AEC=?,

题目

在圆O中,两条弦AB,CD,且角AOC=30°,角BOD=70°,且AB,CD交点为E,则角AEC=?,
双解题,要图和解题过程,快

答案

首先,证明一个定理：
“顶点在圆内的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数和的一半”
证明：
过C作CP//AB,交圆于P,
则有∠AEC＝∠C,弧AC＝弧BP(圆中两平行弦所夹弧相等)
而∠C的度数等于弧DP的一半,弧DP＝弧BD＋弧BP＝弧BD＋弧AC
所以∠AEC的度数等于“弧BD＋弧AC”的一半
即“顶点在圆内的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数和的一半”
∴∠AEC = 1/2(弧AC+弧BD) = 1/2(∠AOC+∠BOD) = 1/2(30°+70°) = 50°