化简:(20+14√2)的立方根+(20-14√2)的立方根
题目
化简:(20+14√2)的立方根+(20-14√2)的立方根
化简:
(20+14√2)的立方根+(20-14√2)的立方根
答案
设(20+14√2)的立方根+(20-14√2)的立方根 =k,则
k³=20+14√2+3×3次根号下[(20+14√2)²(20-14√2)]+3×3次根号下[(20+14√2)(20-14√2)²]+(20-14√2)
=40+3×3次根号下[(20+14√2)(20-14√2)(20+14√2)]+3×3次根号下[(20+14√2)(20-14√2)(20-14√2)]
=40+3×3次根号下[8(20+14√2)]+3×3次根号下[8(20-14√2)]
=40+6×[3次根号下(20+14√2)]3次根号下(20-14√2)]
即k³=40+6k
转化为求k的方程,即
k³-6k-40=0
k³-4³-6k+24=0(注:分组分解,把-40分成-4³+24)
(k-4)(k²+4k+4²)-6(k-4)=0
(k-4)(k²+4k+10)=0
∴k-4=0或k²+4k+10=0
由k-4=0,得k=4.
∵k²+4k+10=0中,△=b²-4ac=4²-40<0.∴无解
∴k=4.
即(20+14√2)的立方根+(20-14√2)的立方根 =4.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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