如图,在平行四边形ABCD中,AC的垂直平分线分别交CD、AB于点F和点E,AB=4,BC=根号3,AC=3倍根号3,求EF长

题目

如图,在平行四边形ABCD中,AC的垂直平分线分别交CD、AB于点F和点E,AB=4,BC=根号3,AC=3倍根号3,求EF长

答案

过C作CG∥FE交AB的延长线于G、作CH⊥BG交BG于H.
由勾股定理,有：CH^2＝AC^2－（AB＋BH）^2＝BC^2－BH^2,
∴（3√3）^2－（4＋BH）^2＝（√3）^2－BH^2,
∴27－16－8BH－BH^2＝3－BH^2,　∴8BH＝27－16－3＝8,　∴BH＝1.
∴AH＝AB＋BH＝4＋1＝5.
再由勾股定理,有：CH＝√（AC^2－AH^2）＝√（27－25）＝√2.
∵CG∥FE、AC⊥FE,　∴CG⊥AC.
由∠CAH＝∠GAC、∠AHC＝∠ACG＝90°,得：△ACH∽△AGC,　∴CH/CG＝AH/AC,
∴CG＝CH×AC/AH＝√2×3√3/5＝3√6/5.
∵ABCD是平行四边形,∴FC∥EG,又CG∥FE,∴EFCG是平行四边形,∴EF＝CG＝3√6/5.