三角函数和不等式

题目

三角函数和不等式
1.已知a,b属于R,a2+b2≤4 求证：｜3a2-8ab-3b2｜≤20
提示：｜m•sinA+n•sinA｜≤√m2+n2
PS:a2就是a的平方,其他的也一样.√m2+n2,就是根号下,m的平方加n的平方 .
2.a,b,c,d属于R
a+b=c+d=1,ac+bd＞1
求证:a,b,c,d中至少一个是负数
并且在今天之内,

答案

1、
题目中的提示“｜m•sinA+n•sinA｜≤√m2+n2 ”应该是：
“｜m•cosA+n•sinA｜≤√m2+n2 ”或“｜m•sinA+n•cosA｜≤√m2+n2 ”
令a=kcosx,b=ksinx
因为：a2+b2≤4
所以：a2+b2 = k^2 ≤4
｜3a2-8ab-3b2｜ = k^2*|3(cosx)^2-3(sinx)^2-8cosxsinx|
= k^2*|3cos2x - 4sin2x|
≤k^2*sqrt(3^2+4^2)
=5k^2
≤5*4 = 20
(注：sqrt()是开方的意思,x^2表示x的平方)
2、用反证法：
假设a,b,c,d都大于或等于0
因为：a+b=c+d=1
所以令a=(cosx)^2,b=(sinx)^2,c=(cosy)^2,d=(siny)^2
其中0≤x,y≤pi/2
因为0≤cosx、sinx、cosy、siny≤1
所以：
ac+bd = (cosxcosy)^2 + (sinxsiny)^2
≤cosxcosy + sinxsiny （因为一个大于0小于1的数的平方≤这个数）
=cos(x-y)
≤1
这与“ac+bd>1”矛盾
所以a,b,c,d中至少一个是负数.