3²=4+5；5²=12+13；7²=24+25.写出规律,使用勾股定理证明.

题目

3²=4+5；5²=12+13；7²=24+25.写出规律,使用勾股定理证明.

答案

按照所给之等式,可发现“每个奇数的平方可写成两个相邻正整数之和的形式”.用符号来表示如下：
(2n+1)²=(2n²+2n)+(2n²+2n+1).
可以这样证明：对于满足勾股定理(2n²+2n)²+(2n+1)²=(2n²+2n+1)²
(2n²+2n+1)²-(2n²+2n)²=(2n²+2n+1+2n²+2n)[2n²+2n+1-(2n²+2n)]=4n²+4n+1=(2n+1)²