已知x1,x2是方程x^2-(k-2)+(k^2+3k+5)=0(k是实数）的两个实数根,求x1^2+x2^2的最小值

题目

已知x1,x2是方程x^2-(k-2)+(k^2+3k+5)=0(k是实数）的两个实数根,求x1^2+x2^2的最小值

答案

题目应该是x^2-(k-2)x+(k^2+3k+5)=0(k是实数）吧
△=(k-2)^2-4(k^2+3k+5)=k^2-4k+4-4k^2-12k-20=-3k^2-16k-16≥0
3k^2+16k+16≤0
（3k+4）(k+4)≤0
-4≤k≤-4/3
x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1*x2=(k-2)^2-2(k^2+3k+5)=k^2-4k+4-2k^2-6k-10=-k^2-10k-6
=-(k+5)^2+19
对称轴为x=-5,此时取得最大值19,-4与-4/3在x=-5同侧
当k=-4/3时取得最小值50/9