已知定线段AB所在的直线与定平面α相交，P为直线AB外的一点，且P不在α内，若直线AP，BP与α分别交于C，D点，求证：不论P在什么位置，直线CD必过一定点．

题目

已知定线段AB所在的直线与定平面α相交，P为直线AB外的一点，且P不在α内，若直线AP，BP与α分别交于C，D点，求证：不论P在什么位置，直线CD必过一定点．

答案

证明：设定线段AB所在直线为l，与平面α交于O点，即l∩α=O．
由题意可知，AP∩α=C，BP∩α=D，∴C∈α，D∈α．
又∵AP∩BP=P．
∴AP、BP可确定一平面β且C∈β，D∈β．
∴CD=α∩β．∴A∈β，B∈β．∴l⊂β．∴O∈β．∴O∈α∩β，即O∈CD．
∴不论P在什么位置，直线CD必过一定点．