limx→0 e^sinx(x-sinx)／(x-tanx)

题目

limx→0 e^sinx(x-sinx)／(x-tanx)

答案

0/0型极限
limx→0 e^sinx(x-sinx)／(x-tanx)
=limx→0 [e^sinx cosx (x-sinx)+e^sinx (1-cosx) ]/1-1/(x^2+1))
=limx→0 e^sinx [(xcosx-cosxsinx)+(1-cosx)]*(x^2+1)/x^2
=limx→0 e^sinx [(xcosx-cosxsinx)+(1-cosx)]+e^sinx [(xcosx-cosxsinx)+(1-cosx)]/x^2
=0+limx→0 e^sinx [(xcosx-cosxsinx)+(1-cosx)]/x^2
=limx→0 {e^sinx cosx [(xcosx-cosxsinx)+(1-cosx)] +e^sinx [cosx-xsinx-cosxcosx+sinxsinx+sinx] } /(2x)
=limx→0 e^sinx {cosx [cosx (xsinx)+2(1-cosx) ] -xsinx +sinxsinx+sinx] } /(2x)
=limx→0 (e^sinx cosx {cosx [cosx (xsinx)+2(1-cosx) ] -xsinx +sinxsinx+sinx] }+ e^sinx {-sinx[cosx (xsinx)+2(1-cosx) ]+cosx [-sinx(xsinx)+cosx (sinx+xcosx)+2sinx] -sinx-xcosx+2sinxcosx+cosx} )/2
=1/2