已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,AB=1,AA1=2,点E为CC1中点,点F为BD1的中垂线.

题目

已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,AB=1,AA1=2,点E为CC1中点,点F为BD1的中垂线.
（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；
（2）求点D1到平面BDE的距离.

答案

一因为AC⊥BD,DD1⊥AC,
所以AC⊥面BDD1,则AC⊥BD1,又EF‖AC,所以EF⊥BD1,
因为CC1⊥AC,EF‖AC,所以EF⊥CC1,
所以EF为BD1与CC1的公垂线.
二因为BD＝BE＝DE＝√2
所以S△BDE＝(1/2)BD²*sin60°＝√3/2
令点D1到面BDE的距离为h,则三棱椎BDED1的体积为
(1/3)S△DD1E*BC＝(1/3)S△BDE*h
所以h＝2√3/3