已知函数f(x)=ax+b,当x∈[a1,b1]时f(x)的值域为[a2,b2],当x∈[a2,b2]时f(x)的值域为[a3,b3],…依此类推,一般地,当x∈[an-1,bn-1]时f(x)的值域
题目
已知函数f(x)=ax+b,当x∈[a1,b1]时f(x)的值域为[a2,b2],当x∈[a2,b2]时f(x)的值域为[a3,b3],…依此类推,一般地,当x∈[an-1,bn-1]时f(x)的值域为[an,bn],其中a、b为常数且a1=0,b1=1
(1)若a=1,求数列{an},{bn}的通项公式.
(2)若a>0且a≠1,要使数列{bn}是公比不为1的等比数列,求b的值.
(3)若a<0,设数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,求(T1+T2+…+T2000)-(S1+S2+…+S2000)的值.
答案
(1)a=1时,f(x)=x+b在R上是增函数,
由已知,当n≥2时,x∈[a
n-1,b
n-1],f(x)的值域是[a
n,b
n],
∴a
n=f(a
n-1)=a
n-1+b,b
n=f(b
n-1)=b
n-1+b,
∴{a
n}、{b
n}都是公差为b的等差数列.
∵a
1=0,b
1=1,
∴a
n=(n-1)b,b
n=(n-1)b+1;
(2)∵a>0,a≠1,
∴f(x)=ax+b在R上也是增函数,
由已知有b
n=f(b
n-1)=ab
n-1+b,即b
n=ab
n-1+b(n≥2),
∴
=a+,
若{b
n}是公比不为1的等比数列,则
是常数,所以b=0;
(3)∵a<0,∴f(x)=ax+b在R上是减函数,
由已知可得,b
n=f(a
n-1)=a•a
n-1+b,a
n=f(b
n-1)=a•b
n-1+b,
∴b
n-a
n=-a(b
n-1-a
n-1)(n≥2),
∴{b
n-a
n}是以1为首项,-a为公比的等比数列,
∴b
n-a
n=(-a)
n-1,
∴T
n-S
n=(b
1-a
1)+(b
2-a
2)+…+(b
n-a
n)=
,
于是,(T
1+T
2+…+T
2000)-(S
1+S
2+…+S
2000)
=(T
1-S
1)+(T
2-S
2)+…+(T
2000-S
2000)
=
.
(1)a=1时,f(x)=x+b在R上是增函数,由题意知,a
n=f(a
n-1)=a
n-1+b,b
n=f(b
n-1)=b
n-1+b,从而可判断{a
n}、{b
n}都是公差为b的等差数列.根据等差、等比数列的通项公式及a
1=0,b
1=1可得两数列的通项公式;
(2)易知f(x)=ax+b在R上也是增函数,由已知有b
n=f(b
n-1)=ab
n-1+b(n≥2),可变形为:
=a+,若有{b
n}是公比不为1的等比数列,则
是常数,由此可得b值;
(3)易知f(x)=ax+b在R上是减函数,由已知可得,b
n=f(a
n-1)=a•a
n-1+b,a
n=f(b
n-1)=a•b
n-1+b,则b
n-a
n=-a(b
n-1-a
n-1)(n≥2),易知,{b
n-a
n}是以1为首项,-a为公比的等比数列,
可得b
n-a
n,从而可求T
n-S
n,则可求得,(T
1+T
2+…+T
2000)-(S
1+S
2+…+S
2000)=(T
1-S
1)+(T
2-S
2)+…+(T
2000-S
2000)的值;
数列的求和;等差数列与等比数列的综合.
本题考查等差等比数列的通项公式、数列求和等知识,考查学生综合运用知识分析解决问题的能力,难度较大.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
最新试题
热门考点