若对任意x∈R，不等式(x2+1)cosθ−x(cosθ−5)+3x2−x+1＞sinθ-1恒成立，求θ的取值范围．

题目

若对任意x∈R，不等式

(x2+1)cosθ−x(cosθ−5)+3

x2−x+1

＞sinθ-1恒成立，求θ的取值范围．

答案

原不等式变形为：（cosθ-sinθ+1）x²-（cosθ-sinθ-4）x+cosθ-sinθ+4＞0
令t=cosθ-sinθ得：（t+1）x²-（t-4）x+t+4＞0，
∴

t+1＞0 (t−4)2−4(t+1)(t+4)＜0

⇒t＞0
∴cosθ-sinθ＞0，∴cosθ＞sinθ，∴2kπ-

3π

4

＜θ＜2kπ+

π

4

，k∈Z
所以θ得范围是（2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

）  k∈Z

原不等式变形为：（cosθ-sinθ+1）x²-（cosθ-sinθ-4）x+cosθ-sinθ+4＞0，令t=cosθ-sinθ得：（t+1）x²-（t-4）x+t+4＞0，求出t的范围，即可求θ的取值范围．

本题考点：函数恒成立问题．

考点点评：本小题主要考查函数恒成立问题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．