已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,直线x+y=1被椭圆截得的弦AB的长为2根号2,且AB的中点与原点连线的斜率为（根号2）/2,求椭圆方程

题目

已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,直线x+y=1被椭圆截得的弦AB的长为2根号2,且AB的中点与原点连线的斜率为（根号2）/2,求椭圆方程

答案

椭圆ax²+by²=1与直线X+Y-1=0相交于AB两点,C是AB中点,若|AB|=2√2,0为原点,OC斜率为√2/2 ,求a,b.
【解】设A（x1,y1）,B（x2,y2）,C（x0,y0）
联立：ax²+by²=1与x+y-1=0得
（a+b)x²-2bx+b-1=0
由韦达定理得：x1+x2=2b/（a+b）,x1•x2=（b-1）/（a+b）.
|AB|=√2•√[2b/（a+b）]²-[4(b-1)/(a+b)]=2√2
整理得:a²+b²+3ab-a-b=0……①
又x0=(x1+x2)/2,即x0=b/（a+b）
y0=(y1+y2)/2=(-x1+1-x2+1)/2 即y0=a/（a+b）
OC斜率为√2/2 ,则y0/x0=a/b=√2/2…… ②
联立①②解得：a=1/3,b=√2/3.
椭圆方程：x^2/3+y^2/(9/2)=1