试证明：实对称矩阵A是正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵P,使A=PTP

题目

试证明：实对称矩阵A是正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵P,使A=PTP

答案

A正定,则存在正交阵Q和对角元全是正数的对角阵D,使得A=Q^TDQ,记C是对角元是D的对角元的平方根的对角阵,即D＝C^2=C^TC,于是A=Q^TC^TCQ,P=CQ是可逆阵.反之,A=P^TP,则任意的非零向量x,有Px非零,于是x^TAx=x^TP^TPx=(Px)...