知函数f(x)=lg(1+2x),F(x)=f(x)-f(-x) 1.求F（X）定义域 2.当0≤X＜1/2时,总有F（X）≥

题目

知函数f(x)=lg(1+2x),F(x)=f(x)-f(-x) 1.求F（X）定义域 2.当0≤X＜1/2时,总有F（X）≥
已知函数f(x)=lg(1+2x),F(x)=f(x)-f(-x) 1.求F（X）定义域
2.当0≤X＜1/2时,总有F（X）≥m成立,求m取值范围

答案

1.1+2x>0,x>-1/2,f(x)的定义域为(-1/2,+∞),f(-x)的定义域为(-∞,1/2)
所以F(x)的定义域为(-1/2,1/2).
2.F(x)=lg(1+2x)-lg(1-2x)=lg[(1+2x)/(1-2x)]=lg{[2-(1-2x)]/(1-2x)}=lg[2/(1-2x) -1]
从而,可以看出F(x)在[0,1/2)上是增函数,
要使F(x)≥m恒成立,只须[F(x)]min≥m,x∈[0,1/2)
即F(0)≥m
m≤0