已知虚数Z1,Z2是实系数一元二次方程的两个根,且Z1^2=Z2,求ZI,Z2

题目

已知虚数Z1,Z2是实系数一元二次方程的两个根,且Z1^2=Z2,求ZI,Z2

答案

设虚数z1,z2满足z1^2=z2,若z1,z2又是一个实系数一元二次方程的两个根,求z1,z2的值.
解:设z1=a+bi,z2=c+dia,b,c,d为实数,
z1,z2又是一个实系数一元二次方程的两个根:
Z1+z2为实数,→-b=d,→z1=a+bi,z2=c-bi
Z1*z2为实数,→(a+bi)*(c-bi)=(ac+b^2)+(bc-ab)i为实数,→
(bc-ab)=0,→bc=ab,→b=0或a=c
若b=0,→d=0,Z1=a,Z2=c,均为实数,不合题意
∴a=c,Z1=a+bi,Z2=a-bi,z1^2=z2→
(a^2-b^2)+2abi=a-bi→
(a^2-b^2)=a.(1)
2abi=-bi.(2)
由(2):2ab=-b(b≠0),→2a=-1,→a=-1/2代入(1):
[(1/4)-b^2]=-1/2,→-b^2=-3/4,→,→b^2=-3/4,→
b=±√3/2
∴Z1=-1/2+(√3/2)i,Z2==-1/2-(√3/2)i,
或Z1=-1/2-(√3/2)i,Z2==-1/2+(√3/2)i,