在RT三角形ABC中,∠C＝90° 以C为圆心作弧 切AB于D已知AD＝4 BD＝1 则图中阴影部分的面积是

题目

在RT三角形ABC中,∠C＝90° 以C为圆心作弧 切AB于D已知AD＝4 BD＝1 则图中阴影部分的面积是

答案

　　连 CD.
　　∵ AD＝4、 BD＝1
　　∴ AB = AD + BD = 4 + 1 = 5
　　∵ 以C为圆心的弧 与 AB 相切 于点D
　　∴ CD ⊥ AB （圆的切线垂直于过切点的半径）
　　∴ ∠BDC = ∠CDA = 90°
　　∵ ∠C＝90°
　　∴ ∠B + ∠A = 90° --------------------------------- ①
　　∵ CD ⊥ AB
　　∴ ∠B + ∠BCD = 90° ------------------------------------ ②
　　由 ① ② 得： ∠A = ∠BCD
　　在 Rt△BCD 和 Rt△CAD 中
　　∠BDC = ∠CDA = 90° （已证）
　　∠A = ∠BCD （已证）
　　∴ Rt△BCD ∽ Rt△CAD
　　∴ BD ：CD = CD ：AD
　　∴ CD的平方 = BD × AD
　　= 1 × 4
　　= 4
　　∴ CD = 2
　　则 S△ABC = （1/2）× AB × CD
　　= （1/2）× 5 × 2
　　= 5
　　∵ ∠C = 90°
　　∴ 以C为圆心的弧 与 两直角边（BC、AC）围成的扇形的面积 S扇
　　等于 “ 以C为圆心、以CD长为半径的圆的面积 “的四分之一.
　　∴ S扇 = （1/4）× （π × CD的平方）
　　= （1/4）× （π × 2的平方）
　　= π
　　∴ S阴 = S△ABC -- S扇
　　= 5 -- π