若对于抛物线y=1/4x^2上任意一点Q,点p(0,a)都满足/pQ/>=/a/,则a的取值范围为多少

题目

若对于抛物线y=1/4x^2上任意一点Q,点p(0,a)都满足/pQ/>=/a/,则a的取值范围为多少

答案

设点Q( x , 1/4 x^2 ) ,其中 x∈R
∴│PQ│^2 = x^2 + ( 1/4 x^2 - │a│)^2
=1/16x^4 + ( 1 - 1/2 │a│)x^2 +a^2
由题意,有│PQ│^2≥a^2
∴1/16x^4 + ( 1 -1 /2 │a│)x^2≥0 对x∈R 恒成立
令t = x^2 ,t≥0
即1/16t^2 + ( 1 - 1/2 │a│)t≥0 对t≥0 恒成立
又 此二次函数的图像过原点
∴其对称轴在y轴左侧
即 -8( 1 - 1/2 │a│)≤0
│a│≤2
∴-2≤a≤2