椭圆x^2/21+y^2/81=1上的点到直线3x+4y-64=0的最大距离与最小距离

题目

椭圆x^2/21+y^2/81=1上的点到直线3x+4y-64=0的最大距离与最小距离

答案

当与给定直线平行的直线与椭圆相切时,切点到给定直线的距离最大（远端相切时）和最小（近端相切时）,为此,先求出切点坐标；
对椭圆方程求导：x/21+yy'/81=0,y'=-27x/(7y)；
令y'=k=-3/4（给定直线斜率）,得：-27x/(7y)=-3/4,即 y=36x/7；
将y=36x/7代入椭圆方程求出切点坐标：x^2/21+(36x/7)^2/81=1；化简 x^2=147/55,得：x=±7√3/√55；
切点y坐标：y=±36√3/√55；
最大、最小距离：d=|3*±7√3/√55+4*±36√3/√55-64| / √(3^2+4^2)=|±165√3/√55-64| /5
={(3√165/25)+64/5,(3√165/25)-64/5}