如图,在半径为1, 圆心角为60°的扇形AB弧上任取一点P,作扇形的内接矩形PNMQ,使点Q在弧AB上,点N,M分别在OA,OB上,求这个矩形面积的最大值

题目

如图,在半径为1, 圆心角为60°的扇形AB弧上任取一点P,作扇形的内接矩形PNMQ,使点Q在弧AB上,点N,M分别在OA,OB上,求这个矩形面积的最大值
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答案

画图形,中心角为60度半径为1米的扇形对称朝上,过圆心作x y轴,在扇形中任画一矩形(相对y轴对称),设第一象限内扇形圆弧上点的坐标为(x,y)
则有 x^2+y^2=1 .圆
所割矩形的面积s=2x*[√(1-x^2)-√3x] (x＞0,y＞0)
2x 和√(1-x^2)-√3x是矩形的两边长,若使S最大,
2x =√(1-x^2)-√3x,解此方程 得 x=√(2-√3)/2
此时 s=(2x)^2=2-√3≈ 0.268