已知函数f(x)=x3-ax2+3x. (Ⅰ)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)在x∈[1,a]上的最小值和最大值. (Ⅱ)若f(x)在x∈[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围.
题目
已知函数f(x)=x3-ax2+3x.
(Ⅰ)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)在x∈[1,a]上的最小值和最大值.
(Ⅱ)若f(x)在x∈[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围.
答案
(Ⅰ) 由题意知f'(x)=3x
2-2ax+3=0的一个根为x=3,可得a=5,…(3分)
所以f'(x)=3x
2-10x+3=0的根为x=3或
x=(舍去),
当1<x<3时,f'(x)<0,当3<x<5时,f'(x)>0,
f(x)在x∈[1,3]上单调递减,在x∈[3,5]上单调递增
又f(1)=-1,f(3)=-9,f(5)=15,
∴f(x)在x∈[1,5]上的最小值是f(3)=-9,最大值是f(5)=15.…(7分)
(Ⅱ)f'(x)=3x
2-2ax+3,要f(x)在x∈[1,+∞)上是增函数,则有3x
2-2ax+3≥0在x∈[1,+∞)内恒成立,
即
a≤+在x∈[1,+∞)内恒成立
又
+≥3(当且仅当x=1时取等号),所以a≤3…(13分)
(Ⅰ) 由题意知f'(x)=3x
2-2ax+3=0的一个根为x=3,可得a=5,再利用导数求其最小值和最大值
(Ⅱ)f'(x)=3x
2-2ax+3,要f(x)在x∈[1,+∞)上是增函数,则有3x
2-2ax+3≥0在x∈[1,+∞)内恒成立,分离参数a,转化为即
a≤+在x∈[1,+∞)内恒成立
利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
本题考查导数知识的运用,求函数的单调性,函数的最值,分离参数的方法解决恒成立问题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
最新试题
热门考点