在等腰三角形ABC中,角BAC=90度,P为三角形ABC内一点,PA=1,PB=3,PC噶平方=7,求角CPA噶大小.

题目

在等腰三角形ABC中,角BAC=90度,P为三角形ABC内一点,PA=1,PB=3,PC噶平方=7,求角CPA噶大小.

答案

已知等腰△ABC,PB=3,PC的平方=7,AP=1,∠A=90°,则AB=AC,设AB=AC=M
过P点作PD⊥AC,交AC于D点,作PE⊥AB,交AB于E点,则四边形PDAE为矩形,PE=DA=X,PD=EA=Y,CD=AC-DA=M-X
根据勾股定理,得
PA^2=DA^2+PD^2,1=X^2+Y^2.(1)
PC^2=PD^2+CD^2,7=Y^2+(M-X)^2.(2)
解上方程组,得
X=DA=(M^2-6)/(2M)
CD=M-X=M-(M^2-6)/(2M)=(M^2+6)/(2M)
Y=EA=√(1-X ^2)
=√{1- [(M^2-6)/(2M)]^2}
=[√(16M^2-M^4-36)]/(2M)
BE=AB-EA=AB-Y=M-[√(16M^2-M^4-36)]/(2M)
在RT△PBE中,根据勾股定理,得
PB^2=BE^2+PE^2
9={M-[√(16M^2-M^4-36)]/(2M)}^2+[(M^2-6)/(2M)]^2
解上方程(现时的水平解不了一元八次方方程),得M=AB=AC
再根据余弦定理,得
AC^2=PA^2+PC^2-2PA*PC*cos∠CPA
M^2=1+7-(2√7)*cos∠CPA
cos∠CPA=(8-M^2)/(2√7)
即可求出∠CPA,计算复杂,如有时间,请自己计算.