有界闭区间上的连续函数必一致连续

题目

有界闭区间上的连续函数必一致连续
请证明之.

答案

任给e>0,由连续函数定义,对任意[a,b]中的x,有相应的dx>0
只要y属于[a,b]且在(x-dx,x+dx)内,就有|f(y)-f(x)|对每个x,都能如上找到对应的开邻域,这些开邻域覆盖整个闭区间[a,b],由于[a,b]是紧集,存在有限开覆盖(x1-dx1,x1+dx1)...(xn-dxn,xn+dxn)
令d=min(dx1,...,dxn),
则对任意[a,b]中的x,只要y属于[a,b]且在(x-d,x+d)内,就有|f(y)-f(x)|所以一致连续