将正方形ABCD折叠,使顶点A于CD边上的点M重合,折痕交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC边交于点G（如图4）

题目

将正方形ABCD折叠,使顶点A于CD边上的点M重合,折痕交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC边交于点G（如图4）
如果M为CD边上的任意一点,设AB=2a,问△CMG的周长是否与点M的位置有关?若有关,请把△CMG的周长用含DM的长x的代数式表示；若无关,请说明理由.为啥是4a?

答案

从以下分析可以见到△CMG的周长与M点的位置无关,为常数4a.
连接AM则折痕EF是AM的垂直平分线,EM=EA,∠EMG=∠A=90°；
进而可知,在rt△CMG及rt△DEM中,∠CMG=90°-∠DME=∠DEM,
所以△CMG∽△DEM,其周长之比等于相似比.
△DEM的周长：DM+DE+EM=x+DE+EA=x+DA=x+2a.
设DE=y,有方程EM²=x²+y²=EA²=（2a-y)²,整理得4a²-x²=4ay,
相似比MC/DE=(2a-x)/y,
△CMG的周长：（x+2a)*MC/DE=(X+2a)(2a-x)/y=(4a²-x²)/y=4ay/y=4a.
当M点位于D点或C点时不构成三角形CMG,但原三角形周长衍化为2倍的正方形边长,仍为4a.