康托分布的期望和方差怎么求?《概率论基础教程》习题

题目

康托分布的期望和方差怎么求?《概率论基础教程》习题
设X1,X2...为独立同分布随机变量序列,Xn的分布列为P(Xn=0)=P(Xn=2)=0.5,n>=1.随机变量X=sum(Xn/(3^n))
{n从1到无穷}的分布称为康托分布,求E（X）和VAR（X）
答案分别为1/2、1/8
《概率论基础教程》第八版习题,中文版344页第12题,答案只给了得数

答案

E（Xn）=0×0.5+2×0.5=1
E（X）=∑(1~n)E(Xi)/(3^i)=∑(1~n)1/(3^i)
∑(1~n)1/(3^i)是一个等比数列,公比1/3,用等比求和公式得
E(X)=1/2
D(X)=∑(1~n)D(Xi)/(3^i)²
***VAR表示方差,我习惯用D表示
D(Xi)=E(Xi²)-(EXi)²
E(Xi²)=4×0.5=2
D(Xi)=1
D(X)=∑(1~n)D(Xi)/(3^i)²=∑(1~n)1/(3^i)²
∑(1~n)1/(3^i)是一个等比数列,公比1/9,用等比求和公式得
D(X)=1/8