如图,正三棱柱abc-a1b1c1的所有棱长为2,d为cc1的中点.1)求证ab1垂直面a1bd2)求二面角a-a1d-b的大小

题目

如图,正三棱柱abc-a1b1c1的所有棱长为2,d为cc1的中点.1)求证ab1垂直面a1bd2)求二面角a-a1d-b的大小
3)求点c到平面a1bd的距离

答案

连接辅助线A1B,A1B与AB1交于E点,连接DE.
∵D是侧棱CC1中点,正三棱柱ABC-A1B1C1各棱长都为a,
∴DA=DB1,DB=DA1,E是AB1,A1B的中点
∴DE⊥AB1,DE⊥A1B
∴DE⊥平面ABB1A1
∵DE是平面AB1D上的一条线,∴平面AB1D⊥平面ABB1A1.
即A-A1D-B的二面角为90°
延长BC与B1D交于点F,连接EF
∵BE⊥平面AB1D
∴平面BEF⊥平面AB1D
在平面BEF内过C点作BE的平行线交EF与G点,则CG⊥平面AB1D
CG=BE/2=√2×2/4=√2/2
为点C到面AB1D的距离