已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB‖DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=1,AB=2,M是PB的中点

题目

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB‖DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=1,AB=2,M是PB的中点
（1）求证：MC//平面PAD (2)求异面直线AC与PB所成的角的余弦值 （3）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值

答案

第一个问题：
取PA的中点为N.
∵M、N分别是PB、PA的中点,∴由三角形中位线定理,有：NM∥AB、且NM＝AB/2＝1,
又AB∥DC、DC＝1,∴NM∥DC、且NM＝DC,∴CDNM是平行四边形,∴CM∥DN,
而DN在平面PAD上,∴CM∥平面PAD.
第二个问题：
以PA、PB为邻边作平行四边形PAEB.　显然∠CAE＝AC与PB所成的角.
∵PA⊥平面ABCD,又显然有：PA∥BE,∴BE⊥平面ABCD,∴BE⊥BC、BE⊥AB.
由平行四边形PAEB,得：PA＝BE＝1,∴AE＝√（AB^2＋BE^2）＝√（4＋1）＝√5.
由梯形ABCD,得：BC＝√［（AB－CD）^2＋AD^2］＝√（1＋1）＝√2.
AC＝√（AD^2＋CD^2）＝√（1＋1）＝√2.
∴CE＝√（BE^2＋BC^2）＝√（1＋2）＝√3.
容易验证：AE^2＝AC^2＋CE^2,∴由勾股定理的逆定理,得：AC⊥CE,
∴cos∠CAE＝AC/AE＝√2/√5＝√10/5.
即：异面直线AC、PB所成角的余弦值为√10/5.
第三个问题：
以PA、AD为邻边作平行四边形PADF.
∵PA⊥平面ABCD,∴AD⊥PA,又AD⊥AB,∴AD⊥平面PAB,∴AD⊥PB,
显然有：PF∥AD,∴PB⊥PF.
∵PADF是平行四边形,∴FD∥PA,而PA⊥AD,∴AD⊥FD,显然有：AD⊥DC,
∴AD⊥平面FDC,∴FC⊥AD,∴FC⊥PF.
由PB⊥PF、FC⊥PF,得：PB∥FC,∴P、B、C、F共面.
显然有：FD⊥PF,又FC⊥PF,∴∠CFD是平面PAD与平面PBC所成的角的平面角.
由平行四边形PADF,得：FD＝PA＝1.
由PA⊥平面ABCD、FD∥PA,得：FD⊥平面ABCD,∴FD⊥DC.
∴tan∠CFD＝DC/FD＝1,∴∠CFD＝45°,即：平面PAD与平面PBC所成的角为45°.